Калькулятор систем счисления

Как считается перевод систем счисления

Система счисления определяет, какими символами и по каким правилам записываются числа. В привычной нам десятичной системе основание равно десяти: используется десять цифр от 0 до 9, а каждый разряд весит в десять раз больше предыдущего. В позиционной системе значение цифры зависит от её места, поэтому в числе 255 первая пятёрка означает десятки, а вторая — единицы. Тот же принцип действует и в других системах, меняется лишь основание.

Чтобы перевести число в десятичную систему, каждую цифру умножают на основание в степени её позиции и складывают. Например, двоичное 1010 — это 1×8 + 0×4 + 1×2 + 0×1 = 10. Обратный перевод из десятичной системы выполняют делением: число делят на основание, записывают остаток, затем делят частное — и так, пока не дойдут до нуля. Остатки, выписанные снизу вверх, и дают искомую запись.

Пример расчёта

Переведём десятичное число 255 во все системы. Делим на 2 с остатками и получаем двоичную запись 11111111 — восемь единиц, то есть максимальное значение одного байта. Деление на 8 даёт восьмеричное 377, а в десятичной системе число, разумеется, остаётся прежним — 255. Наконец, деление на 16 даёт шестнадцатеричное FF: две цифры F, каждая из которых равна 15. Именно поэтому FF в вебе означает максимальную яркость цветового канала.

Проверим и обратный переход. Возьмём двоичное число 1010 и переведём его в десятичную систему: 1×8 + 0×4 + 1×2 + 0×1 = 10. Обратите внимание, что одна и та же запись «1010» означает разные величины в разных системах: в двоичной это десять, а в десятичной — тысяча десять. Поэтому при работе с числами всегда важно понимать, в какой системе они заданы.

Что важно учесть

Главная ошибка новичков — путать одинаковые на вид записи из разных систем. Число 11 в двоичной системе равно трём, в восьмеричной — девяти, а в десятичной — одиннадцати. Чтобы избежать недоразумений, основание часто указывают нижним индексом или префиксом: 0b для двоичных чисел, 0o для восьмеричных, 0x для шестнадцатеричных. Калькулятор снимает эту неоднозначность, требуя явно выбрать исходную систему.

Двоичная и шестнадцатеричная системы связаны особенно тесно. Одна шестнадцатеричная цифра кодирует ровно четыре двоичных разряда, поэтому длинные цепочки нулей и единиц удобно сворачивать в компактную шестнадцатеричную форму и наоборот. На этом построена запись цветов вида #FF8800, MAC- и IP-адресов, а также дампов памяти: программисту проще прочитать пару шестнадцатеричных цифр, чем восемь двоичных.

Помните и об ограничениях. Калькулятор работает с целыми числами: дробную часть в разных системах записывают отдельно, по тем же правилам разрядов, но с отрицательными степенями основания. Кроме того, буквы A–F допустимы только в шестнадцатеричной системе — если ввести их при выбранной десятичной или двоичной системе, число будет отклонено как не соответствующее основанию. Понимание систем счисления помогает разобраться в том, как компьютер хранит и обрабатывает данные на самом низком уровне.