Калькулятор квадратного уравнения
Обновлено: 20 июля 2026
Калькулятор решает квадратное уравнение вида ax²+bx+c=0 через дискриминант. Введите три коэффициента — калькулятор вычислит дискриминант D и покажет корни: два, один или сообщит, что действительных корней нет. Корни округляются до четырёх знаков после запятой.
Как считается квадратное уравнение
Квадратное уравнение — это равенство вида ax² + bx + c = 0, где a не равно нулю, иначе слагаемое с квадратом исчезает и уравнение становится линейным. Число a называют старшим коэффициентом, b — вторым коэффициентом, а c — свободным членом. Универсальный способ решения опирается на дискриминант — величину, которая заранее показывает, сколько корней вас ожидает.
Дискриминант считается по формуле D = b² − 4ac. Дальше всё зависит от его знака. Если D больше нуля, действительных корней два, и находят их по формуле x = (−b ± √D) / (2a): знак «плюс» даёт первый корень, «минус» — второй. Если D равен нулю, корень один (говорят «двукратный»), и он равен x = −b / (2a). Если D меньше нуля, извлечь квадратный корень в действительных числах невозможно, поэтому действительных корней нет.
| Знак дискриминанта | Сколько корней | Как найти |
|---|---|---|
| D > 0 | два действительных | x = (−b ± √D) / (2a) |
| D = 0 | один (двукратный) | x = −b / (2a) |
| D < 0 | нет действительных | корни комплексные |
Геометрически знак дискриминанта отвечает на вопрос, сколько раз парабола y = ax² + bx + c пересекает ось X: два пересечения, одно касание в вершине или полное отсутствие точек пересечения. Поэтому по одному числу D можно судить о форме графика, ещё не найдя сами корни.
Пример расчёта
Решим уравнение x² − 5x + 6 = 0. Здесь a = 1, b = −5, c = 6. Считаем дискриминант: D = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. Он положительный, значит корней два.
Извлекаем квадратный корень: √1 = 1. Тогда x₁ = (5 + 1) / 2 = 3, а x₂ = (5 − 1) / 2 = 2. Проверим по теореме Виета: сумма корней 3 + 2 = 5 совпадает с −b/a = 5, а произведение 3 × 2 = 6 совпадает с c/a = 6. Обе проверки сходятся — корни найдены верно.
Для сравнения возьмём два других случая. У уравнения x² + 2x + 5 = 0 дискриминант D = 4 − 20 = −16 отрицателен, поэтому действительных корней нет. А у уравнения x² − 4x + 4 = 0 дискриминант D = 16 − 16 = 0, и есть единственный корень x = 4 / 2 = 2 — вершина параболы как раз касается оси X.
Что важно учесть
Быстрая самопроверка — теорема Виета. Для приведённого уравнения (когда a = 1) сумма корней равна −b, а произведение равно c; в общем виде x₁ + x₂ = −b/a и x₁ · x₂ = c/a. Подставив найденные значения, вы за несколько секунд убедитесь, что не ошиблись в знаках или арифметике — самой частой причине неверного ответа.
Внимательно переносите знаки коэффициентов. Минус перед b и c легко потерять, а из-за этого дискриминант и корни изменятся полностью. Если старший коэффициент равен нулю, уравнение перестаёт быть квадратным: калькулятор в этом случае предупредит вас отдельным сообщением, потому что делить на 2a при a = 0 нельзя.
Квадратные уравнения нужны далеко за пределами школьной тетради. В физике через них находят время полёта тела, брошенного под углом, и момент встречи двух движущихся объектов. В экономике и оптимизации корни параболы задают точки безубыточности, а вершина — максимум прибыли или минимум затрат. В геометрии и графике то же уравнение описывает пересечения параболы с прямыми, поэтому умение читать знак дискриминанта пригодится в самых разных задачах.
Вопросы и ответы
Что такое дискриминант квадратного уравнения?
Дискриминант — это число D = b² − 4ac, которое показывает, сколько действительных корней у уравнения. По его знаку сразу видно результат: при D больше нуля корней два, при D равном нулю — один, при D меньше нуля действительных корней нет.
Как найти корни через дискриминант?
Сначала вычислите D = b² − 4ac. Если он неотрицательный, корни считаются по формуле x = (−b ± √D) / (2a). Знак «плюс» даёт первый корень, знак «минус» — второй; при D = 0 оба совпадают.
Почему у уравнения может не быть корней?
Если дискриминант отрицательный, извлечь квадратный корень из него в действительных числах нельзя, поэтому действительных корней нет. График такой параболы целиком лежит выше или ниже оси X и не пересекает её.
Как проверить корни по теореме Виета?
Для уравнения ax²+bx+c=0 сумма корней равна −b/a, а их произведение — c/a. Подставьте найденные значения: если обе проверки сходятся, корни вычислены верно. Это быстрый способ поймать арифметическую ошибку.