Калькулятор факториала

Как считается факториал

Факториал — это произведение всех натуральных чисел от единицы до заданного числа n. Записывают его с восклицательным знаком: n! = 1 × 2 × 3 × … × n. Чтобы получить факториал, достаточно последовательно перемножить все целые числа в этом диапазоне. Именно так работает калькулятор: он заводит переменную, равную единице, и в цикле умножает её на 2, затем на 3 и так далее вплоть до n.

У факториала есть удобное рекуррентное свойство: n! = n × (n−1)!. Оно означает, что факториал каждого следующего числа получается умножением предыдущего факториала на само это число. Например, зная, что 4! = 24, легко найти 5! = 5 × 24 = 120. Из того же правила при подстановке единицы вытекает соглашение 0! = 1, без которого формула теряла бы смысл.

Пример расчёта

Посчитаем факториал пяти. Перемножаем все целые числа от 1 до 5: 1 × 2 × 3 × 4 × 5. На первом шаге получаем 2, затем 6, потом 24 и, наконец, 120. Значит, 5! = 120 — столькими способами можно расставить в ряд пять различных книг на полке. Для десяти произведение уже заметно больше: 10! = 3 628 800, то есть более трёх с половиной миллионов перестановок.

Отдельно стоит запомнить крайний случай: 0! = 1. Пустой набор предметов можно упорядочить ровно одним способом — не делая ничего, — поэтому факториал нуля равен единице, а не нулю. Эти три значения — 0! = 1, 5! = 120 и 10! = 3 628 800 — удобно держать в памяти как ориентиры: по ним легко проверить, что калькулятор и ручной счёт дают одинаковый результат.

Что важно учесть

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Ввести дробное или отрицательное значение нельзя — для них обычный факториал не существует, и калькулятор покажет предупреждение. Существует обобщение факториала на дробные и даже комплексные аргументы — гамма-функция, — но это уже отдельная тема, выходящая за рамки школьного определения.

Главная особенность факториала — стремительный рост. С каждым шагом результат умножается на всё большее число, поэтому он обгоняет любую степень и любую показательную функцию. Уже 13! превышает шесть миллиардов, а 20! — это восемнадцатизначное число. Из-за этого при больших n результат перестаёт помещаться в точное целое, и калькулятор переходит к экспоненциальной записи вида 9,3326 × 10^157.

Есть и техническое ограничение. Обычные вычисления с плавающей точкой хранят около пятнадцати- шестнадцати значащих цифр, а значения свыше 170! превышают максимально представимое число и обращаются в бесконечность. Поэтому калькулятор принимает n от 0 до 170: в этом диапазоне результат вычисляется корректно, хотя для очень больших n он и показывается приближённо. Несмотря на ограничения, факториал незаменим в комбинаторике: он отвечает на вопрос, сколькими способами можно упорядочить набор объектов, и служит кирпичиком для формул сочетаний, размещений и вероятностей.