Калькулятор прогрессии
Обновлено: 20 июля 2026
Калькулятор находит n-й член и сумму первых n членов прогрессии — арифметической или геометрической. Выберите тип, введите первый член, шаг прогрессии (разность или знаменатель) и номер члена — результат появится сразу вместе с формулой, по которой он получен.
Как считается прогрессия
Прогрессия — это числовая последовательность, где каждый следующий член связан с предыдущим одним и тем же правилом. В арифметической прогрессии к предыдущему члену прибавляют постоянное число — разность d. В геометрической прогрессии предыдущий член умножают на постоянное число — знаменатель q. Первый член в обоих случаях обозначают a₁, а номер интересующего члена — n, причём счёт начинается с единицы.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: aₙ = a₁ + (n − 1)·d. Чтобы дойти от первого члена до n-го, разность прибавляют ровно (n − 1) раз. Сумма первых n членов равна S = (a₁ + aₙ) / 2 · n: это среднее арифметическое первого и последнего членов, умноженное на их количество. Для геометрической прогрессии n-й член равен aₙ = a₁·q^(n−1), а сумма при q ≠ 1 считается по формуле S = a₁·(qⁿ − 1) / (q − 1). Если знаменатель равен единице, все члены одинаковы, и сумма превращается в простое произведение a₁·n.
| Величина | Арифметическая | Геометрическая |
|---|---|---|
| Шаг | разность d (прибавляют) | знаменатель q (умножают) |
| n-й член | a₁ + (n − 1)·d | a₁·q^(n−1) |
| Сумма n членов | (a₁ + aₙ) / 2 · n | a₁·(qⁿ − 1) / (q − 1) |
Номер члена n должен быть целым числом не меньше единицы — дробный номер лишён смысла, поэтому калькулятор проверяет это условие. Результаты округляются до шести знаков после запятой, что достаточно и для целых членов, и для прогрессий с дробным шагом.
Пример расчёта
Начнём с арифметической прогрессии: первый член a₁ = 2, разность d = 3, найдём пятый член и сумму. Пятый член: aₙ = 2 + (5 − 1)·3 = 2 + 12 = 14. Сама прогрессия выглядит так: 2, 5, 8, 11, 14 — каждое следующее число больше предыдущего на 3. Сумма первых пяти членов: S = (2 + 14) / 2 · 5 = 8 · 5 = 40. Проверить легко прямым сложением: 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40.
Теперь геометрическая прогрессия с тем же первым членом a₁ = 2 и знаменателем q = 3. Пятый член: aₙ = 2·3⁴ = 2·81 = 162. Прогрессия растёт куда быстрее: 2, 6, 18, 54, 162 — каждое число втрое больше предыдущего. Сумма первых пяти членов: S = 2·(3⁵ − 1) / (3 − 1) = 2·(243 − 1) / 2 = 242. И снова проверяем сложением: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242. Сравнение двух примеров наглядно показывает разницу: при одинаковом старте геометрическая прогрессия обгоняет арифметическую всё сильнее с каждым шагом.
Что важно учесть
Главное — не перепутать тип прогрессии. Если между соседними членами постоянна разность (их разность одинакова), это арифметическая прогрессия. Если постоянно отношение (каждый член во столько-то раз больше предыдущего), это геометрическая. От выбора зависит и формула n-го члена, и формула суммы, поэтому сначала определите характер последовательности.
В геометрической прогрессии отдельно стоит случай q = 1: тогда все члены равны первому, и общая формула суммы делить на ноль не позволяет. Калькулятор в этом случае считает сумму как a₁·n. Если же знаменатель по модулю меньше единицы, члены убывают, и сумма стремится к конечному пределу — на этом основаны формулы бесконечно убывающей прогрессии, хотя здесь считается сумма именно первых n членов.
Прогрессии описывают множество реальных процессов. Арифметическая подходит там, где величина меняется на постоянную сумму: погашение кредита равными платежами по телу долга, равномерное накопление, ряды сидений в зале, растущих на одинаковое число мест. Геометрическая прогрессия лежит в основе сложных процентов и роста вкладов: вклад под фиксированный процент каждый год умножается на один и тот же коэффициент. По ней же оценивают рост населения, распространение информации и любые величины, меняющиеся в одинаковое число раз за период. Понимание формул помогает быстро прикидывать, как поведёт себя такая последовательность на длинной дистанции.
Вопросы и ответы
Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?
В арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа — разности d. В геометрической каждый следующий член получается умножением на одно и то же число — знаменатель q. Первая растёт линейно, вторая — в разы.
Как найти n-й член прогрессии?
Для арифметической прогрессии aₙ = a₁ + (n − 1)·d. Для геометрической aₙ = a₁·q^(n−1). В обеих формулах a₁ — первый член, а n — порядковый номер искомого члена, считая от единицы.
Как посчитать сумму первых n членов?
Сумма арифметической прогрессии равна S = (a₁ + aₙ) / 2 · n, то есть среднему первого и последнего члена, умноженному на количество. Сумма геометрической прогрессии при q ≠ 1 равна S = a₁·(qⁿ − 1) / (q − 1), а при q = 1 просто a₁·n.
Где применяются прогрессии?
Арифметическая прогрессия описывает равномерные процессы: погашение кредита равными долями, накопление с фиксированной прибавкой. Геометрическая прогрессия лежит в основе сложных процентов, роста вкладов и любых величин, меняющихся в одинаковое число раз за период.